Géométrie (STD2A) - ST2S/STD2A

Géométrie

Exercice 1 : Déterminer les équations, cartésienne et paramétrique, d'une ellipse

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soient les points \(C (3;0)\), \(A (10;0)\) et \(B (3;4)\).
On nomme \(\mathcal{E}\) l'ellipse de centre \(C\) de demi-grand axe \([CA]\) et de demi-petit axe \([CB]\).

Déterminer une équation de \(\mathcal{E}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation d'ellipse.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{E}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 \\ y & = & 4 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 4 \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 7\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 + 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 + 7\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)

Exercice 2 : Déterminer les équations, cartésienne et paramétrique, d'une ellipse

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soient les points \(C (5;-5)\), \(A (8;-5)\) et \(B (5;-3)\).
On nomme \(\mathcal{E}\) l'ellipse de centre \(C\) de demi-grand axe \([CA]\) et de demi-petit axe \([CB]\).

Déterminer une équation de \(\mathcal{E}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation d'ellipse.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{E}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -5 + 2\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 -5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 2 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + 2\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -5 + 2\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 2 -5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)

Exercice 3 : Déterminer les équations, cartésienne et paramétrique, d'une ellipse

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soient les points \(C (-4;3)\), \(A (1;3)\) et \(B (-4;7)\).
On nomme \(\mathcal{E}\) l'ellipse de centre \(C\) de demi-grand axe \([CA]\) et de demi-petit axe \([CB]\).

Déterminer une équation de \(\mathcal{E}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation d'ellipse.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{E}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 4 -4\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -4 + 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ y & = & -4 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -4 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 + 4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -4\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 4 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)

Exercice 4 : Déterminer les équations, cartésienne et paramétrique, d'une ellipse

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soient les points \(C (5;-3)\), \(A (8;-3)\) et \(B (5;-2)\).
On nomme \(\mathcal{E}\) l'ellipse de centre \(C\) de demi-grand axe \([CA]\) et de demi-petit axe \([CB]\).

Déterminer une équation de \(\mathcal{E}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation d'ellipse.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{E}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + \operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 6\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -3 + 2\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -3 + \operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 1 -3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + \operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)

Exercice 5 : Déterminer les équations, cartésienne et paramétrique, d'une ellipse

Déterminer une équation de \(\mathcal{E}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation d'ellipse.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{E}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + \operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 6\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -3 + 2\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 1 -3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -3 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 5 + \operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)
\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -3 + \operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)

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